El \(\text{Teorema Fundamental del Cálculo}\) establece la conexión entre derivadas e integrales: La integral definida de una función continua es igual a la diferencia de los valores de su primitiva en los extremos.
\[\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\]
donde \(F(x)\) es una función tal que \(F'(x) = f(x)\). De esta manera, el cálculo integral y el diferencial quedan unidos en un mismo marco matemático.

La \(\text{integral}\) se entiende como la \(\text{inversa de la derivada}\). \[f(x) = x^2 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 2x\] Entonces, integrar devuelve la función original (más una constante): \[\int 2x \, dx = x^2 + C\] --- Otra interpretación de la integral es el \(\text{área bajo la curva}\) entre \(a\) y \(b\). Se aproxima dividiendo el intervalo en muchos rectángulos: \[\sum_{i=1}^{n} f(x_i) \cdot \Delta x\] Al tomar cada vez más rectángulos (\(\Delta x \to 0\), \(n \to \infty\)) se obtiene la definición formal de la integral definida: \[\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x\]

La regla de la cadena en integrales se usa cuando tenemos una función compuesta del tipo \( f(g(x)) \cdot g'(x) \). En ese caso: \[\int f(g(x)) \, g'(x) \, dx = F(g(x)) + C\] donde \(F\) es una primitiva de \(f\). Ejemplo: \[\int 2x \cos(x^2) \, dx\] Hacemos el cambio \( u = x^2 \), entonces \( du = 2x \, dx \). La integral se convierte en: \[\int \cos(u) \, du = \sin(u) + C\] Reemplazamos \( u = x^2 \): \[\int 2x \cos(x^2) \, dx = \sin(x^2) + C\]

La sumatoria de Riemann es un método para aproximar el área bajo una curva. Se divide el intervalo \([a,b]\) en \(n\) subintervalos de ancho \(\Delta x = \frac{b-a}{n}\). En cada subintervalo se toma un punto \(x_i^*\) y se evalúa la función \(f(x)\). La suma de las áreas de los rectángulos formados es: \[S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \, \Delta x\] Cuando el número de particiones \(n\) crece indefinidamente, los rectángulos se vuelven más delgados y la suma se aproxima al área exacta bajo la curva. El límite de estas sumas es lo que definimos como la integral definida: \[\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \, \Delta x\] De esta manera, la integral representa el área exacta bajo la gráfica de \(f(x)\) entre \(x=a\) y \(x=b\).

\[\int k \, dx = kx + C\] \[\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)\] \[\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C\] \[\int e^x \, dx = e^x + C\] \[\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a>0, a \neq 1)\] \[\int \sin x \, dx = -\cos x + C\] \[\int \cos x \, dx = \sin x + C\] \[\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C\] \[\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C\] \[\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C\] \[\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C\] \[\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin x + C\] \[\int \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \arccos x + C\] \[\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x + C\] \[\int \frac{-1}{1+x^2} \, dx = \text{arccot}\, x + C\] \[\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} \, dx = \arcsec x + C\] \[\int \frac{-1}{x\sqrt{x^2-1}} \, dx = \arccsc x + C\]